Αν μαζεύατε σε μια αίθουσα 23 άτομα και τους λέγατε να γράψουν σε ένα πίνακα την ημέρα που έχουν γενέθλια, όσο απίθανο κι αν ακούγεται, η πιθανότητα να εμφανιστεί δύο φορές η ίδια ημερομηνία στον πίνακα είναι μεγαλύτερη από 50%. Αν τα άτομα γίνουν 41, η πιθανότητα γίνεται μεγαλύτερη από 90% και τέλος στα 57 άτομα γίνεται 99%!
Ας θεωρήσουμε P(A) την πιθανότητα να υπάρχουν 2 άτομα με ίδια ημέρα γενεθλίων. Συνεπώς, η P(A’) είναι η πιθανότητα να μην υπάρχουν.
P(A')=1-P(A)
Για ένα άτομο η πιθανότητα είναι 365/365=1 δηλαδή 100%. Για το δεύτερο άτομο η πιθανότητα να μην έχει ίδια ημέρα γενέθλια με το πρώτο είναι 364/365. Για το τρίτο άτομο είναι 363/365.
P(A')=365/365×364/365×363/365×...×343/365 => P(A') = 0.49270276
Άρα η πιθανότητα που μας ενδιέφερε θα είναι:
P(A) = 1 − 0.49270276 = 0.507297
Δηλαδή 50,7%!
Άτομα | Πιθανότητα |
---|---|
5 | 2.7% |
10 | 11.7% |
15 | 25.3% |
20 | 41.1% |
23 | 50.7% |
30 | 70.6% |
40 | 89.1% |
50 | 97.0% |
57 | 99.0% |
100 | 99.99997% |
200 | 99,9999999999999999999999999998% |
Ο αλγόριθμος για τον υπολογισμό πιθανότητας για άτομα Ν είναι ο εξής:
Αλγόριθμος BirthdayParadox Εμφάνισε "Δώστε πλήθος ατόμων..." Διάβασε Ν Ρτόνος1 Για i από 1 μέχρι Ν Pτόνος
Pτόνος*(366-i)/365 Τέλος_επανάληψης P
(1-Pτόνος)*100 Εμφάνισε "Στα ",N," άτομα η πιθανότητα είναι ",P,"%" Τέλος BirthdayParadox