Το παράδοξο των γενεθλίων

Αν μαζεύατε σε μια αίθουσα 23 άτομα και τους λέγατε να γράψουν σε ένα πίνακα την ημέρα που έχουν γενέθλια, όσο απίθανο κι αν ακούγεται,  η πιθανότητα να εμφανιστεί δύο φορές η ίδια ημερομηνία στον πίνακα είναι μεγαλύτερη από 50%. Αν τα άτομα γίνουν 41, η πιθανότητα γίνεται μεγαλύτερη από 90% και τέλος στα 57 άτομα γίνεται 99%!

Ας θεωρήσουμε P(A) την πιθανότητα να υπάρχουν 2 άτομα με ίδια ημέρα γενεθλίων. Συνεπώς, η P(A’) είναι η πιθανότητα να  μην υπάρχουν.

P(A')=1-P(A)

Για ένα άτομο η πιθανότητα είναι 365/365=1 δηλαδή 100%. Για το δεύτερο άτομο η πιθανότητα να μην έχει ίδια ημέρα γενέθλια με το πρώτο είναι 364/365. Για το τρίτο άτομο είναι 363/365.

P(A')=365/365×364/365×363/365×...×343/365 =>
P(A') = 0.49270276

Άρα η πιθανότητα που μας ενδιέφερε θα είναι:

P(A) = 1 − 0.49270276 = 0.507297

Δηλαδή 50,7%!

Άτομα Πιθανότητα
5 2.7%
10 11.7%
15 25.3%
20 41.1%
23 50.7%
30 70.6%
40 89.1%
50 97.0%
57 99.0%
100 99.99997%
200 99,9999999999999999999999999998%

Ο αλγόριθμος για τον υπολογισμό πιθανότητας για άτομα Ν είναι ο εξής:

Αλγόριθμος BirthdayParadox
 Εμφάνισε "Δώστε πλήθος ατόμων..."
 Διάβασε Ν
 Ρτόνος  1
 Για i από 1 μέχρι Ν
  Pτόνος  Pτόνος*(366-i)/365
 Τέλος_επανάληψης
 P  (1-Pτόνος)*100
 Εμφάνισε "Στα ",N," άτομα η πιθανότητα είναι ",P,"%"
Τέλος BirthdayParadox
 

Al-Khwarizmi – ο, εν αγνοία του, εφευρέτης και νονός του Αλγορίθμου

Ο Abu Ja’far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi ήταν πέρσης μαθηματικός, αστρονόμος και γεωγράφος. Γεννήθηκε το 780 μ.Χ. στη Χορασμία και πέθανε το 850 μ.Χ. στη Βαγδάτη.

Ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε τον αριθμό 0, ως τέλος των αρνητικών και αρχή των θετικών αριθμών. Επίσης, σ’ αυτόν οφείλουμε και τον αλγόριθμο επίλυσης των δευτεροβάθμιων εξισώσεων.

Οι συνεισφορές του είχαν μεγάλο αντίκτυπο και στη γλώσσα. Η λέξη «Άλγεβρα» προέρχεται από το Αλ-γκιαμπρ μια από τις δύο πράξεις που χρησιμοποιούσε για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων.

Ο όρος Αλγόριθμος προέρχεται από το Algoritmi (Αλγκορίτμι), το Λατινικό του όνομα.  Η Ισπανική λέξη guarismo και η πορτογαλική algarismo προέρχονται από το όνομα του, και οι δυο λέξεις σημαίνουν ψηφίο.

Όπως πολύ εύστοχα ανέφερε ο Κωνσταντίνος Δασκαλάκης (Καθηγητής Πληροφορικής στο MIT) σε μια διάλεξή του στο “The Hub Events”, o Al Khwarizmi είναι πολύ πιθανό σήμερα, να μην έπαιρνε visa για μια επίσκεψή του στην Αμερική.